La proprietà del bastone da hockey e del parallelogramma del triangolo di Pascal

La proprietà “Hockey Stick” afferma che la somma di qualsiasi linea diagonale che inizia da un 1 all’esterno del triangolo è il numero diagonalmente inferiore all’ultimo numero, a forma di mazza da hockey. Quando i numeri del triangolo di Pascal sono giustificati a sinistra, significa che se scegli un numero nel triangolo di Pascal e ne vai uno a sinistra e sommi tutti i numeri in quella colonna fino a quel numero, ottieni il tuo numero originale. Sembra molto complicato, ma può essere spiegato più chiaramente dall’esempio nel diagramma seguente:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1+3+6+10+15+21 = 35

Prova tu stesso un paio di queste somme per prenderne il controllo. Questo è uno dei miei modelli preferiti nel triangolo di Pascal: è davvero sorprendente che questa proprietà sembri funzionare sempre, eppure, come stiamo per vedere, in realtà non è troppo difficile da dimostrare!

Ad esempio, mostrerò l’idea alla base della dimostrazione con la somma mostrata nel diagramma sopra. Inizieremo con la parte inferiore della mazza da hockey a 35, il totale di 1,3,6,10,15 e 21. Poiché nel triangolo di Pascal ogni numero è la somma dei due sopra di esso, possiamo iniziare scrivendo il somma 35 = 15+20.

Ora, il 15 si trova sulla linea della mazza da hockey (la linea dei numeri in questo caso nella seconda colonna). Ma cosa possiamo fare con il numero 20? Cambialo in una somma dei due sopra! Otteniamo 20 = 10+10, quindi la nostra somma totale diventa 35 = 15 +10+10. Ora abbiamo una somma in cui sia 15 che uno dei 10 giacciono sulla linea della mazza da hockey. Continuiamo questo processo, avendo ogni volta un solo numero non sulla linea, fino a raggiungere il bordo del triangolo, dove il nostro numero non sulla linea è un 1. Quindi, abbiamo finito perché il numero rimanente non abbiamo nella nostra somma che è sulla linea è anche un 1. L’intero processo per 35 è mostrato sotto (i numeri in grassetto sono quelli che giacciono sulla linea della mazza da hockey:

35 = 15+20

35 = 15+10+10

35 = 15+10+6+4

35 = 15+10+6+3+1

È chiaro, quindi, perché la proprietà Hockey Stick del Triangolo di Pascal funziona, anche se questo lo rende un pattern non meno interessante che può essere sviluppato anche in molti altri pattern come la proprietà Parallelogram.

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